Factorisation d'un polynôme avec une racine

P roposition

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ tel que $n\ge 1$ et soit $z_0\in \mathbb{C}$ une racine de $P$ .  Alors, il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-z_0)Q(z)$ .  Autrement dit $z-z_0$ divise $P$ .

Démonstration

Soit $P$  un polynôme de degré $n$ tel que $n\ge 1$ , alors il existe $n+1$ réels   $a_0,a_1,\dots a_n$ tels que $P(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k$ .
Soit $z_0\in \mathbb{C}$ une racine de $P$ . On a donc $P(z_0)=0$ , donc $P(z_0)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}_0^k=0$ .
Ainsi, $P(z)=P(z)-P(z_0)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k-\sum _{k=0}^n{a}_k{z}_0^k=\sum _{k=0}^n(a_k{z}^k-a_k{z}_0^k)=\sum _{k=0}^n{a}_k(z^k-z_0^k)$
Or, pour $k\in \{0;1;\dots ;n\}$ ,   $z^k-z_0^k=(z-z_0)\sum _{p=0}^{k-1}{z}^{k-1-p}{z}_0^p=(z-z_0)\sum _{p=0}^{k-1}{z}^p{z}_0^{k-1-p}$ .
On a donc
$\begin{array}{rl}P(z)& =\sum _{k=0}^n{a}_k((z-z_0)\sum _{p=0}^{k-1}{z}^p{z}_0^{k-1-p})=(z-z_0)\sum _{k=0}^n{a}_k\left(\sum _{p=0}^{k-1}{z}_0^{k-1-p}{z}^p\right)\end{array}$ .

En posant $Q(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k\left(\sum _{p=0}^{k-1}{z}_0^{k-1-p}{z}^p\right)$ , $Q$ est un polynôme de degré $n-1$ (le coefficient associé à $z^n$ est $a_n$ , et $a_n\ne 0$ ), et on a pour tout $z\in \mathbb{C}$ , $P(z)=(z-z_0)Q(z)$ .

Remarque

La réciproque de cette proposition est vraie : s'il existe un polynôme $Q$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ ,    $P(z)=(z-z_0)Q(z)$ , alors  $P(z_0)=(z_0-z_0)Q(z_0)=0$ , donc $z_0$ est racine de $P$ .

Remarques

• Les coefficients du polynôme $Q$ dans la proposition précédente sont des complexes si $z_0$ est complexe. Par exemple, si $P(z)=z^2+1=(z-i)(z+i)$ . On a $P(i)=0$ et $P(z)=(z-i)Q(z)$ avec $Q(z)=z+i$ .
  Si  $z_0$ est réel, et si les coefficients de $P$ sont réels, alors les coefficients de $Q$ sont aussi réels.
• Le polynôme $Q$ dépend bien sûr de la racine $z_0$ choisie.
  
• Dans la démonstration, on obtient une expression du polynôme $Q$ , et on pourrait exprimer ses coefficients (en fonction de $z_0$ et des $a_k$ ), en pratique voir le point Méthode pour déterminer les coefficients de $Q$ .